曲线截面的最大秩猜想

设 $C$ 为通过 $\mathbb{P}^r$ 中次数为 $d$ 的一般线性系嵌入的亏格为 $g$ 的一般曲线。著名的最大秩猜想 (Maximal Rank Conjecture) 断言限制映射 $H^0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^r}(m)) \to H^0(\mathcal{O}_C(m))$ 具有最大秩；若该猜想成立，则将确定 $C$ 的 Hilbert 函数。在本文中，我们证明了关于一般曲线并集的超平面截面的一个类似命题。具体而言，若 $H$ 为一般超平面，我们证明 $H^0(\mathcal{O}_H(m)) \to H^0(\mathcal{O}_{(C_1 \cup C_2 \cup \cdots \cup C_n) \cap H}(m))$ 具有最大秩，除了 $m = 2$ 时存在一些反例。正如 arXiv:1809.05980 中所解释的，该结果在作者对最大秩猜想的证明中起到了关键作用。