函数域上K3曲面的Picard秩与Hecke轨道猜想

设 $\mathscr{X} \rightarrow C$ 为特征 $p \geq 5$ 中一条真曲线 $C$ 上的非平凡且一般普通K3曲面族。我们证明几何Picard秩在 $C$ 的无穷多个闭点上发生跳跃。更一般地，假设给定与在 $p$ 处自对偶的签名 $(b,2)$ 格相关的正交型Shimura簇 $\mathcal{S}$ 的典则模型。我们证明 $\mathcal{S}_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 中任何一般普通的真曲线 $C$ 都在无穷多个点与 $\mathcal{S}_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 的特殊除子相交。作为一个应用，我们在此情形下证明了Chai--Oort的普通Hecke轨道猜想；即我们证明 $\mathcal{S}_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 中的普通点具有Zariski稠密的Hecke轨道。我们还推导了某些酉Shimura簇族的普通Hecke轨道猜想。