基于 Berg-Urbanik 半群的 log-Lévy 矩问题

我们考虑 Berg-Urbanik 半群的 Stieltjes 矩问题，该半群构成 $\mathbb{R}_+$ 上一类与 Bernstein 函数集合存在双射关系的乘性卷积半群。Berg 和 Durán 证明了此类半群的分布在 $t=2$ 之前（至少）是矩确定的，并且对于 Bernstein 函数 $\phi(u)=u$，Berg 作出了一个引人注目的观察：在 $t>2$ 时，该半群的分布是矩不确定的。我们通过根据底层 Bernstein 函数 $\phi$ 的简单性质（如其 Blumenthal-Getoor 指数）估计阈值时间 $\scr{T}_\phi \in [2,\infty]$，扩展了这些工作，该阈值时间为此类 Berg-Urbanik 半群的分布从矩确定性转变为矩不确定性所需的时间。我们为处理不同情况而实施的几种策略之一依赖于最近由作者证明的关于矩问题的一种非经典 Abel 型判据。为了实施这种方法，我们提供了关于半群分布性质的详细信息，例如密度的存在性与平滑性，以及该密度及其各阶导数在所有 $t > 0$ 下的大渐近行为。特别是，这些在 Lévy 过程文献中具有原创性的结果可能具有独立的意义。