超凯勒上同调的 LLV 分解

Looijenga--Lunts 与 Verbitsky 证明了紧致超凯勒流形 $X$ 的上同调容许李代数 $\mathfrak{so} (4, b_2(X)-2)$ 的自然作用，推广了紧致凯勒流形的哈代勒夫谢茨分解。本文中，我们确定了所有已知紧致超凯勒流形例子的 Looijenga--Lunts--Verbitsky（LLV）分解，并提出了关于 LLV 分解中出现的权的一个一般猜想，该猜想特别地给出了超凯勒流形第二贝蒂数 $b_2(X)$ 的强界。具体而言，在 $K3^{[n]}$ 与 $\mathrm{Kum}_n$ 情形，我们给出了相关 LLV 表示的形式特征标的生成级数，它们推广了这些超凯勒流形系列的欧拉数、贝蒂数与霍奇数已知的 Göttsche 公式。对于 O'Grady 的两个例外情形，我们改进了其上同调的已知结果。特别地，我们注意到 LLV 分解为 O'Grady 10 型超凯勒流形的霍奇数提供了一个简单证明。另一方面，对于所有已知的超凯勒流形例子，我们建立了所谓的永井关于超凯勒流形退化单值性的猜想。更重要的是，我们注意到永井猜想是朝向一个更一般、更自然的猜想的第一步，我们在此陈述该猜想。最后，我们证明了这一新猜想为已知类型的超凯勒流形所满足。