约化 $n$ 体问题的 Lie-Poisson 结构

$d$ 维空间中的经典 $n$ 体问题在 Galilean 对称群下是不变的。我们利用多项式不变量方法对该对称群进行约化。结果我们获得了一个具有 Lie-Poisson 结构的约化系统，该系统同构于 $\mathfrak{sp}(2n-2)$，且与 $d$ 无关。该约化保持了 Hamiltonian 的自然形式，即仅依赖于速度的动能与仅依赖于位置的势能之和。因此，我们利用分裂法为约化 $n$ 体问题构造了一个 Poisson 积分器。