光滑射影曲线的 Gysin 同态核

设 $S$ 为域 $k$ 上光滑连通射影曲面，$\Sigma$ 为其上的一个非常充分约束 $D$ 的线性系统。设 $d:=\dim(\Sigma)$ 为 $\Sigma$ 的维数，$\phi_{\Sigma}: S \hookrightarrow \mathbb{P}^{d}$ 为由 $\Sigma$ 诱导的 $S$ 嵌入 $\mathbb{P}^{d}$。对于任意闭点 $t\in\Sigma \cong\mathbb{P}^{d^*}$，记 $C_t$ 为对应的射影截面在 $S$ 上的曲线，记 $r_t:C_t\hookrightarrow S$ 为曲线 $C_t$ 嵌入 $S$ 的闭嵌入。令 $\Delta:= \{t \in \Sigma: C_t \text{为奇异} \}$ 为 $\Sigma$ 的判别 loci，令 $U :=\Sigma\setminus \Delta$。对于 $t \in U$，从 $CH_0(C_t)_{deg=0}$ 到 $CH_0(S)_{deg=0}$ 的 Gysin 同态核是某个特定仲量子变数 $A_t$ 内的平移的可数并集，其中 $A_t$ 在 $J(C_t)$ 中，即曲线 $C_t$ 的雅可比上（对于 $k \cong \mathbb{C}$，见 \cite{PS24}；对于 $k \cong \overline{\mathbb{F}_q((t))}$，见 \cite{SW25}）。我们证明对于每一个闭点 $t \in U$，要么 $A_t$ 等于对应于最小定义域 $k'$ 的 $J(C_t)$ 上仲量子变数 $B_t$ 的零化上同调 $H^1(C_t, k')_{van}$，此时 Gysin 核是 $B_t$ 的平移的可数并集，要么 $A_t = 0$，此时 Gysin 核是可数的。通过构造 $U$ 的递增滤化，使得 $U_i, i \in I,$ 为可数集合 $I$ 中 $U$ 的 Zariski 可数开子堆栈，并运用收敛论证完成。