解析盘上带自交点的边界的同构问题

设$V$是嵌入$d$维单位球$\mathbb{B}_d$中的单位盘$\mathbb{D}$，并附着于单位球面。考虑空间$\mathcal{H}_V$，即将Drury-Arveson空间限制到variety $V$上的空间，其乘子代数$\mathcal{M}_V = \operatorname{Mult}(\mathcal{H}_V)$。同构问题是以下问题：$V_1 \cong V_2$等价于$\mathcal{M}_{V_1} \cong \mathcal{M}_{V_2}$吗？Alpay、Putinar和Vinnikov的定理表明，对于没有边界自交点的$V$，$\mathcal{M}_V$是$V$上有界解析函数的空间。我们考虑当存在边界自交点时的情形，并证明如果$\mathcal{M}_{V_1} \cong \mathcal{M}_{V_2}$在代数意义下同构，那么$V_1$和$V_2$必须在单位盘自同构下具有相同的自交点。我们证明，$\mathcal{M}_{V_1}$与$\mathcal{M}_{V_2}$之间的同构只能由从$V_1$到$V_2$的映射给出。在单一简单自交点的情况下，我们显示存在仅两个可能的此类映射候选者，并找到这些候选者。最后，我们提供一族具有相同自交模式的$V$的集合，其乘子代数彼此不可同构。