非交换单位球子簇上有界非交换解析函数的代数

我们研究非交换 (nc) 单位球的 nc 子簇上有界非交换解析函数的代数。给定 nc 单位球 $\mathfrak{B}_d$ 中的一个 nc 簇 $\mathfrak{V}$，我们将 $\mathfrak{V}$ 上有界解析函数的代数（记为 $H^\infty(\mathfrak{V})$）识别为由 $\mathfrak{V}$ 上的 nc 函数组成的某个再生核 Hilbert 空间 $\mathcal{H}_{\mathfrak{V}}$ 的乘子代数 $\operatorname{Mult} \mathcal{H}_{\mathfrak{V}}$。我们发现，每个这样的代数 $H^\infty(\mathfrak{V})$ 都完全等距同构于商 $H^\infty(\mathfrak{B}_d)/ \mathcal{J}_{\mathfrak{V}}$，其中 $H^\infty(\mathfrak{B}_d)$ 是球上有界 nc 全纯函数的代数，$\mathcal{J}_{\mathfrak{V}}$ 是在 $\mathfrak{V}$ 上消失的有界 nc 全纯函数构成的理想。我们研究了两个代数 $H^\infty(\mathfrak{V})$ 和 $H^\infty(\mathfrak{W})$ 何时等距同构的问题。如果簇 $\mathfrak{W}$ 是 $\mathfrak{V}$ 在 $\mathfrak{B}_d$ 的 nc 解析自同构下的像，则 $H^\infty(\mathfrak{V})$ 和 $H^\infty(\mathfrak{W})$ 是（完全）等距同构的。我们证明了在簇为齐次的情形下逆命题成立；一般情况下，我们只能证明若这些代数是等距同构的，则簇之间必然存在 nc 全纯映射。在此过程中，我们被引向考虑 nc 单位球中函数论的一些有趣问题。例如，我们研究了各种版本的 Nullstellensatz（即理想在多大程度上由其零点集确定的问题），并在齐次情形以及交换情形下获得了完美的 Nullstellensatz。我们还考虑了关于可连续延拓到 $\mathfrak{B}_d$ 边界的有界解析函数的类似问题。