再探对 Kármán “常数”的探寻

壁面湍流中连接内层近壁平均速度剖面（缩写为 MVP）与外区域的对数壁面律，一百多年来一直是湍流研究的固定内容，但对于前置因子（即 Kármán “常数” $\kappa$ 的倒数）的值或其普适性，至今仍无普遍共识。用于定位 MVP 对数部分的典型诊断工具是寻找指示函数 $\Xi$（等于壁面法向坐标 $y^+$ 乘以平均速度导数 $\dd U^+/\dd y^+$）为常数的区域。然而，在压力驱动流动中，如槽道和管道流动，$\Xi$ 显著受到一个与壁面法向坐标成正比的项的影响，该项在内层展开中阶为 $\mathcal{O}(\Reytau^{-1})$，但向上穿过重叠区到达外层展开时变为首项阶 $\mathcal{O}(1)$。这里我们表明，由于此线性重叠项，需要远超 $10^5$ 的 $\Reytau$ 才能在槽道和管道中产生一个近常数 $\Xi$ 的十倍区间。通过考虑内层渐近展开中 $\mathcal{O}(\Reytau^{-1})$ 项的公共部分以及外层展开的首项阶，该问题得以解决。此公共部分包含对数律与线性项 $S_0 \,y^+\Reytau^{-1}$ 的叠加，并对应于 $\Xi$ 的线性部分，在槽道和管道中，该线性部分直到 $y^+ \approx 500-1000$ 都被内层展开的项所掩盖。我们设计了一种新的稳健方法，用于在当前可及的 $\Reytau$ 下同时确定压力驱动流动中的 $\kappa$ 和 $S_0$，所得 $\kappa$ 与从中心线速度的雷诺数依赖性推导出的 $\kappa$ 相一致。与零压力梯度湍流边界层的比较进一步澄清了这些问题。