分段光滑开曲线上的亥姆霍兹狄利克雷与诺伊曼问题

提出了一种数值方案，用于求解分段光滑开曲线上的亥姆霍兹方程狄利克雷或诺伊曼边界条件问题，其中曲线可能包含角点和多个连接点。针对光滑开曲线的现有积分方程方法依赖于分析与相关积分算子在端点处密度函数的精确奇异性，从密度函数中显式提取这些奇异性，并使用全局求积法则离散化边界积分方程。将这些方法扩展以处理包含角点和多个连接点的曲线具有挑战性，因为奇异性分析变得更加复杂，且构造用于离散化具有奇异和超奇异核及奇异密度函数的层势的高阶求积法则并非易事。该方案基于以下两个观察构建：第一，单层势算子与双层势算子的法向导数在局部可作为有效的预处理器；第二，递归压缩逆预处理（RCIP）方法可以扩展用于处理"隐式"第二类积分方程。该方案具有高阶精度、自适应性，能够在无需先验密度奇异性知识的情况下处理角点和多个连接点。它也与快速算法（如快速多极子方法）兼容。通过若干数值算例展示了该方案的性能。