应用于带角点奇异性 Dirichlet 问题的复边界积分方程法的几何分级 h-p 求积

用于求解边值偏微分方程的边界积分方法是有限差分与有限元等“内部”方法的替代方案。它们在带角点的区域上颇具吸引力，尤其是当解在这些角点处具有奇异性时。在这些情况下，内部方法可能变得极其昂贵，因为它们需要在角点附近精细离散的二维网格，而边界积分方法通常只需在一维（弧长）上离散的网格。考虑 Dirichlet 问题。应用于带角点奇异性问题的传统边界积分方法涉及一个带有对数奇异性核的（实）边界积分方程。这既繁琐编码又计算低效。CBIEM 的不同之处在于它涉及一个具有光滑核的复边界积分方程。该边界积分方程用配置法逼近，然后内部解用 Cauchy 积分公式的离散结合奇异性消去来逼近。求解积分方程需要高阶求积规则。典型的角点奇异性为平方根型，故采用“几何分级 h-p”复合求积规则。这给出了积分方程以及进而 Dirichlet 问题的高效高阶解。给出了在 \textsc{matlab} 代码中的实现与实验结果。