CLE垫圈的豪斯多夫维数

共形环系$\mathrm{CLE}_{\kappa}$是复平面中适当单连通区域内非交叉环的规范共形不变概率测度。参数$\kappa$在$8/3$到$8$之间变化；$\mathrm{CLE}_{8/3}$是空的，而$\mathrm{CLE}_8$是单个空间填充环。在这项工作中，我们研究了$\mathrm{CLE}$垫圈的几何性质，即不被$\mathrm{CLE}$的任何环所包围的点集。我们证明，当$4<\kappa<8$时，垫圈的几乎必然豪斯多夫维数下界为$2-(8-\kappa)(3\kappa-8)/(32\kappa)$。结合Schramm-Sheffield-Wilson [Comm. Math. Phys. 288 (2009) 43-53]对所有$\kappa$给出的上界以及Nacu-Werner [J. Lond. Math. Soc. (2) 83 (2011) 789-809]对$\kappa\le4$给出的匹配下界，这完成了对所有定义域内$\mathrm{CLE}_{\kappa}$垫圈维数的确定。该维数与Duplantier-Saleur [Phys. Rev. Lett. 63 (1989) 2536-2537]对FK垫圈的预测一致。