派生Hecke算子下的Harris-Venkatesh猜想 II：一个统一的Stark猜想

我们证明了对于权为 $1$ 的虚二面体模形式，Stark 猜想与 Harris-Venkatesh 猜想之间的相容性定理。关键的技术输入是一个一般的二元 $\mathrm{PGL}_2$ Siegel-Weil 公式，它精确地给出 Eisenstein 级数的 Laurent 级数系数作为 Eisenstein 级数的对偶 theta 提升。该二元 Siegel-Weil 公式被应用于虚二面体最优形式的 Rankin-Selberg 周期，以及将 $L$-值与椭圆单位联系起来的 Stark 公式的一个精细化，从而得到 Deligne-Serre 表示的派生 Hecke 算子与伴随 $L$-值之间的相容性。我们提出了一个涵盖 Stark 与 Harris-Venkatesh 猜想的一般统一猜想，并从概念上将派生 Hecke 算子的作用重新解释为在几乎所有素数处的模 Stark 单位数据。