某些域上的Hadwiger-Nelson问题

我们计算某些数域$E$的Hadwiger-Nelson数$\chi(E^2)$，即给平面中坐标为$E$中元素的点着色所需的最小颜色数，使得任意两个距离为$1$的点颜色不同。具体地，我们证明$\chi(\mathbb{Q}(\sqrt{2})^2) = 2$，$\chi(\mathbb{Q}(\sqrt{3})^2) = 3$，$\chi(\mathbb{Q}(\sqrt{7})^2) = 3$，尽管图$\Gamma(\mathbb{Q}(\sqrt{7})^2)$是无三角形的，且$4 \leq \chi(\mathbb{Q}(\sqrt{3}, \sqrt{11})^2) \leq 5$。我们还讨论了其他域、其他二次域的一些结果。最后对选择公理的使用作了一些评论。