双曲平面可测色数的下界

考虑图 $\mathbb{H}(d)$，其顶点集为双曲平面，当两点距离等于某个 $d>0$ 时连有一条边。求该图的色数即是著名的哈德维格-纳尔逊问题在双曲情形下的类比，后者关于对欧几里得平面点着色，使得距离为 $1$ 的点获得不同颜色。如同欧几里得情形，对所有 $d$，可将 $\mathbb{H}(d)$ 的色数下界设为 $4$。利用谱方法，我们证明若颜色类是可测的，则当 $d$ 足够大时，恰当着色 $\mathbb{H}(d)$ 至少需要 $6$ 种颜色。