平面的分数与 $j$-重染色

我们给出涉及哈德维格-尼尔森问题的结果，该问题询问为平面染色使得距离为 $1$ 的任意两点颜色不同所需的最少颜色数。Exoo 考虑了一个更一般的问题，涉及以 $\mathbb{R}^2$ 为顶点集、若两顶点距离在区间 $[a,b]$ 内则相邻的图 $G_{[a,b]}$。Exoo 猜想对于 $a$ 与 $b$ 之间足够小但为正的差值，有 $\chi(G_{[a,b]}) = 7$。我们通过证明当 $b > a$ 时 $\chi(G_{[a,b]}) \geq 5$ 部分地回答了该猜想。图 $G = (V,E)$ 的 $j$-重染色是将 $j$ 元颜色集合分配给 $G$ 的顶点，使得任意两个相邻顶点所分配的集合不相交。分数色数 $\chi_f(G)$ 是使用 $k$ 种颜色对 $G$ 进行 $j$-重染色时分数 $k/j$ 的下确界。我们推广了 Hochberg 和 O'Donnel 的方法（他们证明了 $G_{[1,1]} \leq 4.36$）用于图 $G_{[a,b]}$ 的分数染色，得到了依赖于 $\frac{a}{b}$ 的界。我们还给出了针对小 $j$ 的 $G_{[a,b]}$ 的 $j$-重染色的几种特定方法和两种通用方法，特别是针对 $G_{[1,1]}$ 和 $G_{[1,2]}$。小 $j$ 的 $j$-重染色具有强烈的实践动机，尤其在调度理论中，而图 $G_{[1,2]}$ 常用于建模无线网络中隐藏的冲突。