多维 Euler 方程最大发展区域与激波形成的几何结构

我们构造了多维可压缩 Euler 方程 Cauchy 数据的最大整体双曲发展（MGHD）边界的一个基本部分，这是局部激波发展问题所必需的。对于压缩型且一般的 $H^7$ 初值的一个开集，我们在给定时间片下方的极大时空区域中构造了 Euler 方程的唯一 $H^7$ 解，该区域超越了首次奇性时刻；在此时空中的任意点，解可通过将快、慢声学特征曲面同时沿时间向后追踪至沿初始时间片给定的 Cauchy 数据，被光滑且唯一地计算出来。该时空区域的未来时间边界是一个奇异超曲面，包含三个集合的并：第一，称为预激波的共维-$2$ 的“首次奇性”曲面；第二，从预激波发出的下游超曲面，即奇异集，Euler 解在其上经历连续的梯度灾变；第三，由预激波发出的上游超曲面，即 Cauchy 视界，Euler 解无法到达。我们基于任意拉格朗日欧拉（ALE）框架，发展了一种描述声学特征曲面的新几何框架，并将其与一种新型的微分 Riemann 变量相结合，这些变量是速度梯度、声速以及快声学特征曲面曲率的线性组合。利用这些新变量，我们建立了 Euler 方程解的无导数损失且具最优正则性的一致 $H^7$ Sobolev 估计。