双线性方案的几何与奇点

本文旨在研究由Joachim Jelisiejew引入的双线性方案 $\mathrm{Bilin}_{d_1,d_2,d_3}^{r_1, r_2}(\mathbb{A}^n)$ 的几何结构。该函子可视为 Quot 方案的一种泛化，给出局部自由模的双线性映射的模空间。我们通过证明双线性函子可实现为 Quot 函子乘积的闭子函子，从而得出双线性函子由 Quot 方案的闭子方案表示。我们利用这一结果计算表示 $\mathrm{Bilin}_{d_1,d_2,d_3}^{r_1, r_2}(\mathbb{A}^n)$ 的双线性方案的切空间。我们定义两种类型的值域：对应点元组的值域和完全退化值域。第一种值域给出双线性方案的主不可约组成部分。我们采用最简边界秩张量和 secant variety（割线variety）的理论，发现 $\mathrm{Bilin}_{d_1,d_2,d_3}^{r_1, r_2}(\mathbb{A}^n)$ 在所有 $n$ 且 $r_i \geq d \geq 3$ 时均为可约的。我们详细描述了 $\mathrm{Bilin}_{2,2,2}^{2, 2}(\mathbb{A}^1)$ 的 $\Bbbk$-点。