A型仿射晶体的几何R-矩阵

在[Frieden, arXiv:1706.02844]中，我们在簇$\mathbb{X}_{k} := {\rm Gr}(k,n) \times \mathbb{C}^\times$上构造了一个几何晶体，它热带化为具有$n-k$行的矩形表上的仿射晶体结构。在这篇续作中，我们定义并研究了几何$R$-矩阵，这是一个双有理映射$R : \mathbb{X}_{k_1} \times \mathbb{X}_{k_2} \rightarrow \mathbb{X}_{k_2} \times \mathbb{X}_{k_1}$，它热带化为矩形表对上的组合$R$-矩阵。我们证明$R$是几何晶体的同构，并且满足Yang-Baxter关系。在两个表都只有一行的情况下，我们恢复了对称群的一个双有理作用，该作用已在文献中以多种形式出现。我们还定义了一个有理函数$E : \mathbb{X}_{k_1} \times \mathbb{X}_{k_2} \rightarrow \mathbb{C}$，它热带化为仿射晶体理论中的共能量函数。几何$R$-矩阵的大部分性质源于这样一个事实：它给出了圈群${\rm GL}_n(\mathbb{C}(\lambda))$中某个矩阵方程的唯一解。