双曲平衡律的广义黎曼问题：面向高阶的统一公式

一维非线性双曲平衡律系统的广义黎曼问题(GRP)现已众所周知，可表述如下：给定在间断两侧光滑的初始数据，确定间断附近解的时间演化。经典黎曼问题是许多数值格式（最著名的是Godunov格式）的主要构建块，而GRP的解析研究将导致一系列GRP格式，这些格式扩展了Godunov格式。目前对二阶GRP格式有广泛研究，该格式被证明是鲁棒的，并且能够解决复杂的多维流体动力学问题[M. Ben-Artzi and J. Falcovitz, "Generalized Riemann Problems in Computational Fluid Dynamics", Cambridge University Press, 2003]。二阶GRP求解器的更一般公式仍然局限于一类弱耦合系统[Numer. Math. (2007) 106:369-425]。本文提供了一种在双曲平衡律的一般背景下求解GRP的统一方法，没有弱耦合约束，面向高阶精度。与先前工作相比，二阶GRP求解器的推导更加简洁，并且首次解决了三阶二次GRP。通过具有强间断的数值实验表明后者是必要的。我们的方法严重依赖于通过推导L(Q)-方程（一个ODE系统，捕捉广义黎曼不变量在$x$-$t$空间中特征导数的“演化”）对稀疏波的新处理。声点的情况被纳入一般处理。验证了所推导的GRP求解器的精度，并给出了数值示例以展示所得格式的性能。