黎曼流形上的 Gauss-Bonnet-Chern 定理

这篇说明性文章详细介绍了关于 Gauss-Bonnet-Chern 定理的一些重要工作。对该定理的研究有着悠久的历史，可追溯至 Gauss 的 Theorema Egregium（拉丁语：绝妙定理），并在 Chern 于 1944 年的开创性工作 [14] 中达到顶峰，这是 Elie Cartan 形式体系的一次深刻而绝妙的应用。[14] 中的思想与工具得到了极大的推广，至今仍在不断产生重要成果。在本文中，我们给出了黎曼流形上 Gauss-Bonnet-Chern 定理的四个不同证明，即 Chern 的简单内蕴证明、一个拓扑证明、Mathai-Quillen 的 Thom 形式证明以及 McKean-Singer-Patodi 的热方程证明。这些证明与微分几何中的显著发展相关，如 Chern-Weil 理论、示性类理论、Mathai-Quillen 形式体系以及 Atiyah-Singer 指标定理。正是通过这些辉煌成就，展现了 Chern 洞察与思想的巨大重要性和影响力。我们此处的目的是以 Gauss-Bonnet-Chern 定理为引导，向读者介绍现代微分几何中的一些高级课题。