遍历过程的间隙维数与一致大数定律
概率论
2016-11-25 v1 统计理论
机器学习
统计理论
摘要
设 F 为完全可分度量空间上的一个 Borel 可测函数族。F 的间隙（或胖粉碎）维数是一种组合量，用于度量 F 中的函数 f 在预定分辨率 gamma > 0 下分离有限点集的程度。我们建立了 F 的间隙维数与其在遍历采样下样本平均一致收敛之间的联系。具体而言，我们证明了如果 F 在分辨率 gamma > 0 下的间隙维数是有限的，那么对于每个遍历过程，F 中函数的样本平均最终将在 10 gamma 的范围内一致地趋近于其在函数类 F 上的极限期望。如果 F 在每个分辨率 gamma > 0 下的间隙维数都是有限的，那么 F 中函数的样本平均将一致收敛于其极限期望。我们仅假设 F 是一致有界且可数的（或可数逼近的）。对 F 没有施加任何平滑性条件，对采样过程也没有施加遍历性之外的任何假设。我们的结果推广了针对 i.i.d. 过程的现有工作。
引用
@article{arxiv.1007.2964,
title = {The Gap Dimension and Uniform Laws of Large Numbers for Ergodic Processes},
author = {Terrence M. Adams and Andrew B. Nobel},
journal= {arXiv preprint arXiv:1007.2964},
year = {2016}
}
备注
24 pages, submitted for publication