代数基本定理的有效化：基于Sturm链的初等实代数证明
代数几何
2012-03-27 v4 复变函数
数值分析
摘要
Sturm定理（1829/35）提供了一个优雅的算法来计数和定位任何实多项式的实根。Cauchy在他的留数演算（1831/37）中将Sturm方法扩展到计数和定位任何复多项式的复根。对于全纯函数，Cauchy指数基于围道积分，但在多项式的特殊情况下，它可以像实情况一样通过使用欧几里得除法的Sturm链有效地计算。通过这种方式，我们提供了Cauchy定理在任意实闭域上多项式的代数证明。作为我们的主要工具，我们在实代数框架中形式化了Gauss的几何绕数概念（1799），由此我们推导出代数基本定理的实代数证明。该证明是初等的，因为它只使用了介值定理和实多项式的算术。因此，它可以用实闭域的一阶语言来表述。此外，该证明是构造性的，并立即转化为一个代数求根算法。
引用
@article{arxiv.0808.0097,
title = {The Fundamental Theorem of Algebra made effective: an elementary real-algebraic proof via Sturm chains},
author = {Michael Eisermann},
journal= {arXiv preprint arXiv:0808.0097},
year = {2012}
}
备注
34 pages including historical survey and appendices; v2 improved exposition; v3 revision according to referees' suggestions; v4 minor editorial revision