重新审视 Smale 代数基本定理

在其 1981 年的代数基本定理论文中，Steve Smale 开创了通过牛顿法的一种变体求解单复变量多项式方程的复杂度理论。在本文中，我们结合这些年来的研究工作重新审视了他的算法。Smale 的上界估计是平均代价无穷大。我们的上界估计在 Bézout 数和输入维度的多项式级别内。因此，对于任何 Bézout 数在输入规模的多项式级别内的维度范围，其代价均为多项式级别。特别是，这不仅适用于 Smale 所考虑的情形，也适用于 Bürgisser-Cucker 所考虑的维度范围，即对于某个固定的 $\epsilon$，最大次数大于或等于 $n^{1+\epsilon}$。Smale 的算法有可能在所有维度下都是多项式代价的，而我们的主定理提出了一些可能有助于证明此类定理的问题。