打结曲面补集的基本交叉模

我们证明，若 $M$ 是一个 CW-复形且 $M^1$ 是其 1-骨架，则交叉模 $\Pi_2(M,M^1)$ 仅取决于 $M$ 作为空间的同伦型（在交叉模范畴中相差与 $\Pi_2(D^2,S^1)$ 的自由积）。由此可知，若 $G$ 是有限交叉模且 $M$ 是有限的，则交叉模态射 $\Pi_2(M,M^1) \to G$ 的数量可重新缩放为同伦不变量 $I_G(M)$，该不变量仅取决于 $M$ 的同伦 2-型。我们描述了一种算法，用于在 $M$ 为 $S^4$ 中打结曲面 $\Sigma$ 的补集且 $M^{(1)}$ 为由 $M$ 的手柄分解中的 0-手柄和 1-手柄构成的手柄体时，将 $\pi_2(M,M^{(1)})$ 计算为 $\pi_1(M^{(1)})$ 上的交叉模。此处 $\Sigma$ 由带纽结表示。这特别为我们提供了一种几何方法，通过双曲分裂从代数上计算打结曲面补集的 2-型。此外，我们证明了不变量 $I_G$ 给出了 $S^4$ 中打结曲面的非平凡不变量，且在显式计算方面具有良好的性质。