奇异链函子探测弱同伦等价

道路连通带基点空间 $X$ 的规范化奇异链可视为一个连通的 $E_{\infty}$-余代数 $\mathbf{C}_*(X)$，其性质是：它的 cobar 构造的第 $0$ 同调自然是一个余交换双代数，且具有对极，即它是一个余交换 Hopf 代数。我们证明：道路连通带基点空间之间的连续映射 $f: X\to Y$ 是弱同伦等价，当且仅当 $\mathbf{C}_*(f): \mathbf{C}_*(X)\to \mathbf{C}_*(Y)$ 是一个 $\mathbf{\Omega}$-拟同构，即在对底层的 dg 余结合余代数施加 cobar 函子 $\mathbf{\Omega}$ 后，是 dg 代数的拟同构。证明基于将 Whitehead 的一个经典定理与如下观察相结合：基本群函子以及空间上局部系统的数据可由奇异链代数结构函子式地描述。