弹性流形的自由能

本文是关于弹性流形模型的三篇论文中的第一篇。该经典模型由于固有无序与弹性平滑效应之间的竞争，提出了丰富的图景。在本文中，我们证明了Parisi公式，即我们计算了渐近定态自由能，并显示其由特定变分问题的解给出。本工作源于自1980年代以来在物理学文献中开展的长期且卓有声望的研究工作（包括Daniel Fisher[29]、Marc Mezard和Giorgio Parisi[50, 51]的奠基性工作，以及近期Yan Fyodorov和Pierre Le Doussal[34, 35]的工作。尽管自Michel Talagrand[67, 68]的杰出工作之后，针对无序系统的数学研究取得了深入进展，但弹性流形模型仅近期且在零温度时才得到数学视角的考察。通过第一作者与Paul Bourgade和Benjamin McKenna[15, 16]计算了 annealed 拓扑复杂性。本文开始在正温度下研究该模型，通过计算定态自由能来实现。我们通过首先应用拉普拉斯方法将问题归约到一类新的具有弹性相互作用的球形无序模型来获得Parisi公式。上界通过最初为无序系统研究而开发的插值方法（由Francisco Guerra[42]）获得。下界通过调整 cavity 方法（沿着Wei-Kuo Chen[23]的思路）以及Dmitry Panchenko[55]的多物种同步方法来实现。在我们的下一篇论文[19, 20]中，我们将分析这些Parisi公式的含义。