作为余切丛上度量的 Fisher 度量
信息论
2025-10-07 v2 微分几何
math.IT
概率论
统计理论
统计理论
摘要
概率分布流形上的 Fisher 度量通常被视为切丛上的度量。本文关注由 Fisher 度量诱导的余切丛上的度量，称之为 Fisher 余度量。我们通过建立余切向量与随机变量之间的自然对应，表明 Fisher 余度量无需经由 Fisher 度量即可直接定义。该定义阐明了 Fisher 余度量与随机变量方差/协方差的紧密关系，由此 Cramér-Rao 不等式变得平凡。我们还讨论了 Fisher 余度量关于 Markov 映射的单调性与不变性，并给出一个由不变性刻画余度量的定理，可视为 Čencov 的 Fisher 度量刻画定理的余切版本。所得定理也可视为给出了方差/协方差的一种刻画。
引用
@article{arxiv.2310.13237,
title = {The Fisher metric as a metric on the cotangent bundle},
author = {Hiroshi Nagaoka},
journal= {arXiv preprint arXiv:2310.13237},
year = {2025}
}