第一$L^2$-贝蒂数与任意特征标域中的逼近

设$G$为有限生成群，$(G_i)$为$G$的有限指数正规子群的递减链。给定域$K$，我们考虑序列$b_1(G_i;K)/[G:G_i]$，即$G_i$以$K$为系数的归一化第一贝蒂数，我们称之为$b_1^{(2)}(G)$（$G$的第一$L^2$-贝蒂数）的$K$-逼近。本文讨论$\mathbb{Q}$-逼近和$\mathbb{F}_p$-逼近何时有极限，这些极限何时相等，何时与序列$(G_i)$无关，以及它们与$b_1^{(2)}(G)$的关系。特别地，我们证明在$(G_i)$交平凡且每个$G/G_i$为有限$p$-群的假设下，序列$b_1(G_i;\mathbb{F}_p)/[G:G_i]$的极限大于或等于$b_1^{(2)}(G)$。