首批具有高对称性的 Kirkman 三元系族及其阶填满同余类

Kirkman 三元系（KTS）是最受欢迎的组合设计之一，其存在性早已确定。然而，与 Steiner 三元系相比，关于其自同构群所知甚少。特别地，尚无已知的同余类能表示具有接近点数数量之自同构的 KTS 的阶。我们填补了这一空白：证明每当 $v \equiv 39$ (mod 72)，或 $v \equiv 4^e48 + 3$ (mod $4^e96$) 且 $e \geq 0$ 时，存在具有至少 $v-3$ 个自同构的 $v$ 点 KTS。这是对作用在所有但三个点上锐传递的自同构群 $G$ 的 KTS 进行细致考察的后果之一。我们的方法均为构造性的，所得 KTS 在许多情形下继承了 $G$ 的某些自同构，从而增加了对称的总数。为获得这些结果，有必要引入新型差族（双不交差族）与差矩阵（可分裂差矩阵），我们相信它们本身也颇具趣味。