Thom 谱的分解同调理论与扭曲非阿贝尔 Poincaré 对偶

我们给出了源于 $n$ 重环路映射 $f: A \to BO$ 的 Thom 谱的分解同调与 $E_n$ 拓扑 Hochschild 上同调的描述，其中 $A = \Omega^n X$ 是一个 $n$ 重环路空间。我们将分解同调 $\int_M Th(f)$ 描述为与某个映射 $\int _M A \to BO$ 相关联的 Thom 谱。当 $M$ 是标架化的且 $X$ 是 $(n-1)$-连通的时，该谱等价于映射空间 $Map_c(M,X)$ 上某个虚拟丛的 Thom 谱；一般而言，它是某个截面空间上虚拟丛的 Thom 谱。这可以被视为 Segal、Salvatore 和 Lurie 的非阿贝尔 Poincaré 对偶定理的扭曲形式，后者发生于 $f: A \to BO$ 零伦的情况。该结果还推广了 Blumberg-Cohen-Schlichtkrull 关于 Thom 谱的拓扑 Hochschild 同调以及 Schlichtkrull 关于 Thom 谱的高阶拓扑 Hochschild 同调的结果。我们利用此结果计算了一些 Thom 谱的分解同调，包括经典配边谱、源于群系的谱，以及 Eilenberg-MacLane 谱 $H \mathbb{Z}/p$、$H\mathbb{Z}_{(p)}$ 和 $H\mathbb{Z}$。我们在 Thom 谱分解同调描述的基础上，研究了 Thom 谱的（$n=1$ 及更高阶）拓扑 Hochschild 上同调，这使得我们可以进行计算并以参数化谱的截面形式进行描述。如果 $X$ 是闭流形，参数化谱的 Atiyah 对偶允许我们推导出 $E_n$ 拓扑 Hochschild 同调与 $E_n$ 拓扑 Hochschild 上同调之间的对偶性，并在 $f$ 零伦时恢复弦拓扑运算。结合高阶 Deligne 猜想，这赋予了某族 Thom 谱 $E_{n+1}$ 结构，而此前这些谱并不被知晓为环谱。