$\ell^\infty(X_k)$ 的分解性质

本文考虑如下的问题：设 $X_k$ 为具有规范化基 $(e_{(k,j)})_j$ 的 Banach 空间，其对偶基记为 $(e_{(k,j)}^*)_j$，其中 $k\in\mathbb{N}$，令 $Z=\ell^\infty(X_k:k\in\mathbb{N})$ 为它们的 $\ell^\infty$-和，并令 $T:Z\to Z$ 为有界线性算子，具有大对角，即 $$\inf_{k,j} \big|e^*_{(k,j)}(T(e_{(k,j)}))\big|>0.$$ 在何种条件下 $Z$ 上的恒等算子可经过 $T$ 分解？本文的目的是给出使答案为肯定的通用条件。