利用自由性证明曲线上 $\mathbb{F}_q$-本原点的存在性

设 $\mathcal C_Q$ 为阶为 $Q$ 的循环群，$n$ 为 $Q$ 的因子，$r$ 为 $Q/n$ 的因子。我们引入 $\mathcal C_Q$ 的 $(r,n)$-自由元集合，并推导出使得 $f(\theta)$ 为 $(r,n)$-自由且 $F(\theta)$ 为 $(R,N)$-自由的 $\theta \in \mathbb F_q$ 个数的下界，其中 $f, F \in \mathbb F_q[x]$。作为一个应用，我们考虑形如 $y^n=f(x)$ 的曲线上 $\mathbb F_q$-本原点的存在性，并特别地找出了所有使得椭圆曲线 $y^2=x^3 \pm x$ 含有 $\mathbb F_q$-本原点的奇素数幂 $q$。