广义Campanato空间临界情形下的Euler方程

本文证明了不可压缩Euler方程在$\Bbb R^n$中对于初值属于$\mathscr {L}^{ 1}_{ 1(1)}(\mathbb {R}^{n})$的局部时间适定性，这对应于广义Campanato空间$\mathscr {L}^{ s}_{ q(N)}(\mathbb {R}^{n})$的临界情形。该空间在我们的配套论文\cite{trans}中被广泛研究，在临界情形下我们有嵌入$B^{1}_{\infty, 1} (\Bbb R^n) \hookrightarrow \mathscr {L}^{ 1}_{ 1(1)}(\mathbb {R}^{n}) \hookrightarrow C^{0, 1} (\Bbb R^n)$，其中$B^{1}_{\infty, 1} (\Bbb R^n)$和$C^{0, 1} (\Bbb R^n)$分别为Besov空间和Lipschitz空间。特别地，$\mathscr {L}^{ 1}_{ 1(1)}(\mathbb {R}^{n})$包含非$C^1(\Bbb R^n)$函数以及在空间无穷远处线性增长的函数。我们还可以构造一类属于$\mathscr {L}^{ 1}_{ 1(1)}(\mathbb {R}^{n})$的简单初速度，其对应的Euler方程解在有限时间内爆破。