有界光滑区域上分数阶 Sobolev 空间中 Euler 方程的可解性

Euler 方程是流体动力学中描述不可压缩无粘理想流体运动的基本系统。对于 $\mathbb{R}^n$ 中的有界光滑区域 $\Omega$，Euler 方程在整数阶 Sobolev 空间 $W^{k,p}(\Omega)$（其中 $k>\frac{n}{p}+1,\, 1<p<\infty$）中的适定性是众所周知的。本文研究有界光滑区域上分数阶 Sobolev 空间中 Euler 方程的适定性。我们首先利用能量方法给出了分数阶 Hilbert-Sobolev 空间中 Euler 方程的先验估计。对于一般的分数阶 Sobolev 空间情形，我们使用特征线方法结合椭圆估计给出类似的估计。最后，利用所获得的先验估计，我们给出了分数阶 Sobolev 空间中 Euler 方程的可解性。与经典情形类似，我们的结果在二维情形下是时间全局的，在三维情形下是时间局部的。