Haus范畴的满态射恰为像稠密态射
一般拓扑
2018-10-02 v1
摘要
本文给出Hausdorff空间范畴的满态射恰为像稠密态射的证明。尽管这是经典结论，其证明却难以在互联网上寻得。因此，我决定以我的方式写出证明并在Arxiv上自由分享我的知识。本文可能引起任何修读纯数学中拓扑学与范畴论主题学生的兴趣。像稠密态射显然是满态射。为确立逆命题，我使用了一种类似于Kolmogorov商的对象，称之为Hausdorff商。借助此Hausdorff商，可证Haus范畴是拓扑空间范畴的反射子范畴。由于其亦为全子范畴，我们推导出拓扑空间为Hausdorff空间的充要条件。利用该条件我们证明：若态射 f:A->B 非像稠密，则商空间 B/cl(f(A)) 的Hausdorff商至少有两个点。此外，我们证明若 f 为满态射，则商空间 B/cl(f(A)) 的Hausdorff商至多有一个点。由此得出该结论。
引用
@article{arxiv.1810.00778,
title = {The epimorphisms of the category Haus are exactly the image-dense morphisms},
author = {Jérôme Lapuyade-Lahorgue},
journal= {arXiv preprint arXiv:1810.00778},
year = {2018}
}