具有有限支撑的函子的 $\ell^p$ 度量化

设 $p\in[1,\infty]$，且 $F:\mathbf{Set}\to\mathbf{Set}$ 为集合范畴 $\mathbf{Set}$ 中具有有限支撑的函子。给定非空度量空间 $(X,d_X)$，我们引入函子空间 $FX$ 上的距离 $d^p_{FX}$ 作为最大距离，使得对每个 $n\in\mathbb N$ 和 $a\in Fn$，映射 $X^n\to FX$，$f\mapsto Ff(a)$ 关于 $X^n$ 上的 $\ell^p$ 度量 $d^p_{X^n}$ 是非扩张的。我们证明距离 $d^p_{FX}$ 是伪度量当且仅当函子 $F$ 保持单点集；$d^p_{FX}$ 是度量，若 $F$ 保持单点集且以下条件之一成立：(1) 度量空间 $(X,d_X)$ 是 Lipschitz 不连通的，(2) $p=1$，(3) 函子 $F$ 具有有限度，(4) $F$ 保持支撑。我们证明对于度量空间之间任意 Lipschitz 映射 $f:(X,d_X)\to (Y,d_Y)$，映射 $Ff:(FX,d^p_{FX})\to (FY,d^p_{FY})$ 是 Lipschitz 的，且 Lipschitz 常数 $\mathrm{Lip}(Ff)\le \mathrm{Lip}(f)$。若函子 $F$ 是有限元的、具有有限度（且保持支撑），则 $F$ 保持一致连续函数、粗函数、粗等价、渐近 Lipschitz 函数、拟等距（以及连续函数）。对许多维数函子我们证明了公式 $\dim F^pX\le\mathrm{deg}(F)\cdot\dim X$。利用内射包，我们引入距离 $d^p_{FX}$ 的修正 $\check d^p_{FX}$，并证明在距离空间范畴 $\mathbf{Dist}$ 中的函子 $\check F^p:\mathbf{Dist}\to\mathbf{Dist}$，$\check F^p:(X,d_X)\mapsto (FX,\check d^p_{FX})$，保持 Lipschitz 映射和度量空间之间的等距。