Bergman 与 Fock 空间上的 Douglas 问题

设 $\mu$ 为正 Borel 测度，$T_\mu$ 为 $\mu$ 在 Bergman 或 Fock 空间上诱导的有界 Toeplitz 算子。本文主要研究 Toeplitz 算子 $T_\mu$ 的可逆性以及 Bergman 和 Fock 空间上的 Douglas 问题。在 Bergman 空间背景下，我们在两种经典情形下，通过 $\mu$ 的 Berezin 变换和反向 Carleson 条件，得到了 $T_\mu$ 可逆性的几个充分必要条件：(1) $\mu$ 关于开单位圆盘 $\mathbb D$ 上的规范化面积测度绝对连续；(2) $\mu$ 是 $\mathbb D$ 的解析自映射下规范化面积测度的拉回测度。然而，我们证明存在一个 Bergman 空间的 Carleson 测度，其 Berezin 变换下有界，但相应的 Toeplitz 算子不可逆。在 Fock 空间上，我们证明 $T_\mu$ 可逆当且仅当 $\mu$ 是反向 Carleson 测度，但 $T_\mu$ 的可逆性并不完全由 $\mu$ 的 Berezin 变换的可逆性决定。这些结果表明，在一般情况下，Bergman 和 Fock 空间上由正测度诱导的 Toeplitz 算子的 Douglas 问题的答案都是否定的。