四元数Fock空间上的算子理论：Carleson测度、Berezin变换与Toeplitz算子

我们发展了四元数Fock空间的算子理论方法，重点研究Carleson测度、Berezin变换和Toeplitz算子。我们首先在$\mathbb H$上为切片函数引入一个全局高斯$L^p$框架，并证明由此产生的全局Fock空间$F_\alpha^p$与由切片范数定义的四元数Fock空间$\mathfrak F_\alpha^p$在等价范数下是一致的。特别地，$F_\alpha^2$是一个右四元数再生核Hilbert空间，这产生了一个与切片无关的Fock投影。在这个全局框架内，我们通过再生核检验和适应$\mathbb H$切片几何的对称盒条件，刻画了四元数Fock-Carleson测度和消失Fock-Carleson测度。然后，我们研究了切片函数的Berezin变换，特别建立了其切片稳定性、半群性质以及若干映射和不动点性质。作为应用，我们引入了具有切片函数符号和测度符号的Toeplitz算子。对于正测度符号，我们通过Berezin型变换和对称盒平均获得了有界性和紧性的刻画。对于切片$\mathrm{BMO}^1$符号，我们通过Berezin变换建立了相应的刻画。与复Fock空间相比，四元数切片几何自然地导致了对称盒平均，并且切片乘积的非交换性为Toeplitz算子带来了新的代数现象。