二部图中的双霍尔性质与圈覆盖

在图 $G$ 中，顶点集 $X$ 的 $2$-邻域由 $G$ 中所有在 $X$ 中至少有 $2$ 个邻点的顶点组成。我们称二部图 $G(A,B)$ 满足双霍尔性质，若 $|A|\geq2$，且每个大小至少为 $2$ 的子集 $X \subseteq A$ 的 $2$-邻域大小至少为 $|X|$。Salia 猜想任何满足双霍尔性质的二部图 $G(A,B)$ 包含一个覆盖 $A$ 的圈。此处，我们证明在任何满足双霍尔性质的二部图 $G(A,B)$ 中存在覆盖 $A$ 的 $2$-因子。我们还对 $B$ 中顶点度数受限的图证明了 Salia 猜想。此外，我们证明了满足双霍尔性质的图中边数的下界，且该下界在常数因子范围内是紧的。