Bessel excursion 下方面积的分布及其矩

Bessel excursion 是指从原点出发并在给定时间 $T$ 首次返回原点的 Bessel 过程。我们研究了此类 excursion 下方面积的分布，该分布最近在激光冷却背景下找到了应用。面积 $A$ 随时间缩放为 $A \sim T^{3/2}$，与维度 $d$ 无关，但分布的函数形式依赖于 $d$。我们证明，对于 $d=1$，该分布如预期般退化为 Brownian excursion 下方面积的分布（即 Airy 分布），并在此过程中推导出了 Airy 分布的新表达式。我们表明该分布在 $d-2$ 上是对称的，且在 $d=2$ 处具有非解析行为。我们计算了分布的一阶和二阶矩，以及一个特定的分数阶矩。我们还分析了从 $d<2$ 到 $d>2$ 的解析延拓。当 $d$ 从下方趋于 4 时，这种解析延拓后的分布由指数为 $2/3$ 的单侧 L\'evy $\alpha$-稳定分布描述，其尺度因子正比于 $[(4-d)T]^{3/2}$。