圣彼得堡博弈的维数

设 $S_n$ 为 $n$ 次重复圣彼得堡博弈中的总收益。已知 $n^{-1}(S_n-n\log_2n)$ 沿形如 $k(n)=2^{p(n)}t(n)$ 的子序列依分布收敛于随机元 $Y(t)$，其中 $p(n)=\lceil\log_2k(n)\rceil\to\infty$ 且 $t(n)\to t\in[\frac12,1]$。我们确定了随机过程 $\{Y(t)\}_{t\in[1/2,1]}$ 几乎所有样本路径的值域与图像的 Hausdorff 维数和盒计数维数。并将结果与 Hugo Steinhaus 提出的由确定性序列初始化的增益所对应的极限对象的分形维数进行了比较。