半实线上一类伸缩调制系统的密度定理

在实践中,时间变量不能为负。定义在右半实线 $\Bbb R_+$ 上的平方可积函数空间 $L^2(\Bbb R_+)$ 刻画了因果信号空间。本文关注 $L^2(\Bbb R_+)$ 中的一类伸缩调制系统。$L^2(\Bbb R)$ 中 Gabor 系统的密度定理给出了其存在完备 Gabor 系统或 Gabor 框架的充要条件,且仅依赖于指标集——与窗函数无关。由于 $\Bbb R_+$ 按通常加法不构成群,$L^2(\Bbb R_+)$ 不容许非平凡 Gabor 系统。本文引入 $L^2(\Bbb R_+)$ 中一类伸缩调制系统及 $\Theta$-变换矩阵的概念。利用 $\Theta$-变换矩阵方法,在 $\log_ba$ 为正有理数的条件下获得了 $L^2(\Bbb R_+)$ 中伸缩调制系统的密度定理,其中 $a$ 与 $b$ 分别为伸缩与调制参数。确切地说,我们证明了:此类完备伸缩调制系统或伸缩调制系统框架在 $L^2(\Bbb R_+)$ 中存在的充要条件是 $\log_ba \leq 1$。同时,我们得到了 $L^2(\Bbb R_+)$ 中所有完备伸缩调制系统及所有伸缩调制系统框架基于 $\Theta$-变换矩阵的表达式。