支撑于 [-1,1] 的 Gabor 窗及具有最优频率局部化的紧支撑对偶窗构造

我们考虑 Gabor 框架 $\{e^{2\pi i bm \cdot} g(\cdot-ak)\}_{m,k \in \mathbb{Z}}$，其平移参数 $a=L/2$，调制参数 $b \in (0,2/L)$，窗函数 $g \in C^n(\mathbb{R})$ 支撑于 $[x_0,x_0+L]$ 且在 $(x_0,x_0+L)$ 上非零，其中 $L>0$ 且 $x_0\in \mathbb{R}$。所有具有充分小支撑的对偶窗 $h \in L^2(\mathbb{R})$ 的集合由 $1$-周期可测函数 $z$ 参数化。每个对偶窗 $h$ 都按函数 $z$ 显式给出，使得 $h$ 的理想性质（如对称性、有界性与光滑性）直接与 $z$ 相关联。我们导出关于函数 $z$ 的易验证条件，其保证——事实上刻画——了具有相同光滑性即 $h \in C^n(\mathbb{R})$ 的紧支撑对偶窗 $h$。该对偶窗构造对所有光滑性指数 $n \in \mathbb{Z}_{\ge 0} \cup \{\infty\}$ 及所有调制参数 $b<2/L$ 均有效；由于 $a=L/2$，这允许任意小的冗余度 $(ab)^{-1}>1$。我们证明 $h$ 的光滑性是最优的，即若 $g \notin C^{n+1}(\mathbb{R})$，则一般而言不存在 $C^{n+1}(\mathbb{R})$ 中的对偶窗 $h$。