有限素域上的 Gabor 标准正交基

我们研究 $L^2({\Bbb Z}_p^d)$ 中关于平移集 $A$ 和调制集 $B$ 的 Gabor 标准正交窗，其中 $p$ 为素数且 $d\geq 2$。我们证明对于集合 $E\subset \Bbb Z_p^d$，指示函数 $1_E$ 是 Gabor 窗当且仅当 $E$ 可平铺且是谱的。此外，我们证明对于任意函数 $g:\Bbb Z_p^d\to \Bbb C$，其支撑为 $E$，若 $E$ 的大小等于调制集 $B$ 的大小，或若 $g$ 为正函数，则 $g$ 是单模函数，即 $|g|=c1_E$（对某个常数 $c>0$），且 $E$ 可平铺且是谱的。我们还证明了存在具有满支撑的 Gabor 窗 $g$，其中 $|g|$ 与 $|\hat g|$ 均非指示函数，且 $|B|<<|p^d$。我们以一则例子和若干开放问题结束本文。