高维 Gabor 函数乘子

对于 $\mathbf{R}^d$ 中两个给定的满秩格 $\mathcal{L}=A\mathbb{Z}^d$ 和 $\mathcal{K}=B\mathbb{Z}^d$,其中 $A$ 和 $B$ 是非奇异实 $d\times d$ 矩阵,若函数 $g(\bf{t})\in L^2(\mathbf{R}^d)$ 满足对任意 $f(\bf{t})\in L^2(\mathbf{R}^d)$ 有 $\sum_{\bf{l},\bf{k}\in\mathbb{Z}^d}|\langle f, {e^{2\pi i\langle B\bf{k},\bf{t}\rangle}}g(\bf{t}-A\bf{l})\rangle|^2=\|f\|^2$,则称其为 Parseval Gabor 框架生成元。已知 Parseval Gabor 框架生成元存在当且仅当 $|\det(AB)|\le 1$。若函数 $h\in L^{\infty}(\mathbf{R}^d)$ 具有如下性质:每当 $g$ 是 Parseval Gabor 框架生成元时 $hg$ 也是 $L^2(\mathbf{R}^d)$ 的 Parseval Gabor 框架生成元,则称其为函数型 Gabor 框架乘子。有猜想认为,函数 $h\in L^{\infty}(\mathbf{R}^d)$ 成为函数型 Gabor 框架乘子的充要条件是 $h$ 必须是单模的,且对任意 $\bf{l},\bf{k}\in \mathbb{Z}^d$,$\bf{k}\not=\bf{0}$,有 $h(\bf{x})\overline{h(\bf{x}-(B^T)^{-1}\bf{k})}=h(\bf{x}-A\bf{l})\overline{h(\bf{x}-A\bf{l}-(B^T)^{-1}\bf{k})},\ \forall\ \bf{x}\in \mathbf{R}^d$ {\em a.e.}。该猜想的必要性方向显然成立且易证,但其充分性方向迄今为止仅在一维情形被证明。本文证明了该猜想的充分性方向在二维情形成立。