周期支持 $\ell^2$-空间中向量序列的多窗格 Gabor 系统的可采性

本文中，$L, M, N, R$ 为正整数，$\mathbb{S}$ 为 $\mathbb{Z}$ 的 $N$-周期子集。空间 $\ell^2(\mathbb{S}, \mathbb{C}^R)$ 表示为向量序列的平方可和空间，值域为复欧几里得空间 $\mathbb{C}^R$。我们考虑（多窗格）Gabor 系统 $\mathcal{G}(g, L, M, N, R)$，通过参数 $nN$（$n \in \mathbb{Z}$）的平移和参数 $\frac{m}{M}$（$m \in \mathbb{N}_M$）的调制作用于由序列 $g = \{g_l\}_{l \in \mathbb{N}_L} \subset \ell^2(\mathbb{S}, \mathbb{C}^R)$ 所生成。运用向量化的 Zak 变换，我们刻画了产生 $\ell^2(\mathbb{S}, \mathbb{C}^R)$ 中完整 Gabor 系统或 Gabor 框架的序列 $g$，即称为窗格的序列。进一步，我们提供了在参数 $L, M, N, R$ 表达式下，使得周期集合 $\mathbb{S}$ 支持完整 Gabor 系统、Parseval Gabor 框架或正交 Gabor 基的可采性条件。