(d-1)-WL 测试的三次迭代可区分非等距的 d 维点云

Weisfeiler--Lehman（WL）检验是用于检查图同构的基本迭代算法。人们还观察到它构成了若干图神经网络架构设计的基础，这些架构的能力与性能可借由该检验的表达能力来理解。受近期机器学习应用于涉及三维物体数据集的发展所推动，我们研究 WL 检验何时对以完全距离图表示的点云是{\em 完备}的，即它能否将任意此类点云区分至等距意义下。我们的主要结果表明，对于任意 $d\ge 2$，$(d-1)$ 维 WL 检验对 $d$ 维欧几里得空间中的点云是完备的，且仅需该检验的三次迭代。我们还观察到 $d$ 维 WL 检验仅需一次迭代即可达到完备。因此，本文对三维情形提供了完整理解：先前工作表明 1-WL 在 $\mathbb{R}^3$ 中不完备，而我们证明 2-WL 在那里是完备的。我们还通过证明 1-WL 无法识别 $\mathbb{R}^3$ 中的平面点云来加强其下界。最后，我们证明 2-WL 在 $\mathbb{R}^6$ 中不完备，并留下其是否在 $d = 4,5$ 时的 $\mathbb{R}^{d}$ 中完备的开放问题。