边着色计数问题的复杂性及一类高值域 Holant 问题的二分法

我们表明，关于整数解有限性的 Siegel 定理的有效版本以及初等 Galois 理论的应用，是对某些 Holant 问题进行复杂性分类的关键要素。这些记为 Holant(f) 的 Holant 问题由一个对称的三元函数 f 定义，该函数在 k >= 3 个值域元素的任意置换下保持不变。我们证明了 Holant(f) 表现出复杂性二分法。即使限制在平面图中，该二分法依然成立。此结果的一个特例是，对于 k >= 3，在平面 3-正则图上计数边 k-着色是#P-难的。事实上，我们证明了对于所有 k >= r >= 3，在平面 r-正则图上计数边 k-着色是#P-难的。在所有其他参数设置下，该问题是多项式时间可计算的。Holant(f) 二分法定理的证明依赖于一个特定多项式 p(x,y) 具有明确列出的有限整数解集这一事实，以及对某些特定多项式的 Galois 群的确定。在此过程中，我们还遇到了 Tutte 多项式、中图、欧拉划分、Puiseux 级数以及多项式根的对数上的某种格条件。