从 Holant 到 #CSP 及其反向：Holant$^c$ 问题的二分法

我们探索了计数问题之间错综复杂的相互依赖关系，并从此类问题的三种框架对其进行考量：Holant 问题、计数 CSP 和加权 H-着色。我们针对接受布尔输入的一般复值函数考虑这些问题。我们表明，一个框架的结果可以用来推导另一个框架中的结果，并且这种情况是双向的。全息归约发现了一种潜在的统一性，这种统一性只有在复数域 $\mathbb{C}$ 中研究这些计数问题时才会显现。我们证明了三个复杂性二分法定理，进而导出了 Holant$^c$ 问题的一般定理。这是 Holant 问题的自然类别，在其中可以赋常数 0 或 1。更具体地说，给定 $G=(V,E)$ 上关于对称函数集合 ${\mathscr F}$ 的任意特征标网格，我们根据 ${\mathscr F}$，完全分类了 $$\sum_{\sigma: E \rightarrow \{0,1\}} \prod_{v\in V} f_v(\sigma\mid_{E(v)}),$$ 的复杂性属于 P 或 #P-难，其中 $f_v \in {\mathscr F} \cup \{{\bf 0}, {\bf 1}\}$（{\bf 0}, {\bf 1} 是一元常数 0、1 函数）。全息归约不仅是主要工具，而且最终的二分法只能用全息变换的语言自然地表述。该证明经过了关于布尔复加权 #CSP 的另一个二分法定理。